3.2: ฝึกฝนเพิ่มเติมและทำความเข้าใจกับโปรแกรมแก้ปัญหา (2023)

ปรับปรุงล่าสุด
บันทึกเป็น PDF

รหัสหน้า: 58445

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}}}\) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!- \!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{ span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart }{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\ norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm {span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\ mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{ \ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{ \unicode[.8,0]{x212B}}\)

เราทราบดีว่ามีสองวิธีในการแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ

1. วิธีการวิเคราะห์โดยใช้พีชคณิตและแคลคูลัส (แบบดั้งเดิม กระดาษ และดินสอ โดยใช้วิธีลากรองจ์): แนวคิดคือการเปลี่ยนปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่มีข้อจำกัดของผู้บริโภคให้เป็นปัญหาที่ไม่มีข้อจำกัด แล้วแก้ไขโดยใช้เทคนิคแคลคูลัสที่ไม่มีข้อจำกัดมาตรฐาน เช่น หาอนุพันธ์ , ตั้งค่าเท่ากับศูนย์และแก้ระบบสมการ

2. วิธีการเชิงตัวเลขโดยใช้คอมพิวเตอร์ (Excel’s Solver): ตั้งค่าปัญหาใน Excel จัดระเบียบสิ่งต่าง ๆ ให้เป็นเป้าหมายอย่างระมัดระวัง ตัวแปรภายนอก ตัวแปรภายนอก และข้อจำกัด จากนั้นใช้โปรแกรมแก้ปัญหาของ Excel ใช้รายงานความไวในกล่องโต้ตอบผลลัพธ์ของโปรแกรมแก้ปัญหาเพื่อรับ\(\แลมบ์ดา\mbox{*}\).

ในบทนี้ เราใช้ทั้งสองวิธีกับปัญหาใหม่

ปัญหาการปฏิบัติยูทิลิตี้ Quasilinear

ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่ประกอบด้วยฟังก์ชันไม่เชิงเส้นของสินค้าหนึ่งบวกกับฟังก์ชันเชิงเส้นของสินค้าอีกชิ้นหนึ่งเรียกว่ารูปแบบฟังก์ชันควอซิลิเนียร์ มันคือเสมือนหรือการเรียงลำดับแบบเชิงเส้นเพราะข้อดีอย่างหนึ่งจะเพิ่มอรรถประโยชน์ในแบบเชิงเส้นและอีกแบบหนึ่งไม่ได้เพิ่ม

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างทั่วไปและตัวอย่างเฉพาะเจาะจงของยูทิลิตี้ควอซิลิเนียร์

ถ้า\(ค < 1\)จากนั้นฟังก์ชันอรรถประโยชน์กึ่งเส้นตรงจะบอกว่าอรรถประโยชน์เพิ่มขึ้นในอัตราที่ลดลงเป็น\(x_1\)เพิ่มขึ้น แต่อรรถประโยชน์เพิ่มขึ้นในอัตราคงที่ เช่น\(x_2\)เพิ่มขึ้น

ปัญหาในการเพิ่มประสิทธิภาพคือการเพิ่มฟังก์ชันยูทิลิตี้นี้ให้สูงสุดโดยขึ้นอยู่กับข้อจำกัดด้านงบประมาณตามปกติ เขียนในรูปสมการดังนี้ \[\max\limits_{x_1,x_2,\lambda}x_1^c + x_2 \\ \textrm{s.t. } p_1x_1 + p_2x_2 = m\] เราจะแก้ปัญหานี้ในเวอร์ชันทั่วไป โดยใช้ตัวอักษรแทนตัวแปรภายนอกแทนตัวเลข โดยใช้วิธี Lagrangean

1. เขียนข้อ จำกัด ใหม่เพื่อให้มีค่าเท่ากับศูนย์

\(0 = ม. - p_1x_1 - p_2x_2\)

2. สร้างฟังก์ชันลากรองจ์ \[\max\limits_{x_1,x_2,\lambda} {\large\textit{L}} = x_1^c + x_2 + \lambda(m -p_1x_1 - p_2x_2)\] โปรดทราบว่าฟังก์ชันลากรองจ์ L มี ฟังก์ชันอรรถประโยชน์กึ่งเส้นตรงบวกตัวคูณลากรองจ์\(\แลมบ์ดา\)คูณกับข้อจำกัดที่เขียนใหม่

ซึ่งแตกต่างจากปัญหาที่เป็นรูปธรรมในบทที่แล้วซึ่งใช้ค่าตัวเลข นี่เป็นปัญหาทั่วไปเกี่ยวกับตัวอักษรที่ระบุตัวแปรภายนอก ปัญหาทั่วไปที่ไม่มีค่าตัวเลขสำหรับตัวแปรภายนอกนั้นยากต่อการแก้ปัญหา เนื่องจากเราต้องติดตามตัวแปรจำนวนมากและต้องแน่ใจว่าเราเข้าใจว่าตัวแปรใดอยู่ภายในภายนอกและภายนอก หากสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาเป็นฟังก์ชันของตัวแปรภายนอกได้ ก็มักจะง่ายที่จะเห็นว่าตัวแปรภายนอกจะส่งผลต่อโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดอย่างไร

3. หาอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวกับ\(x_1\),\(x_2\), และ\(\แลมบ์ดา\).

โปรดจำไว้ว่าอนุพันธ์ย่อยถือว่าตัวแปรอื่นเป็นค่าคงที่ ดังนั้น อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันยูทิลิตี้ควอซิลิเนียร์ที่เกี่ยวกับ\(x_1\)ไม่มี\(x_2\)ตัวแปรในนั้น

4. ตั้งค่าอนุพันธ์เท่ากับศูนย์และแก้ปัญหา\(x_1\mbox{*}\),\(x_2\mbox{*}\), และ\(\แลมบ์ดา\mbox{*}\).

เราใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบเดียวกับก่อนหน้านี้ โดยย้ายเงื่อนไขแลมบ์ดาไปทางด้านขวา แล้วหารสมการแรกด้วยสมการที่สอง ซึ่งทำให้เราสามารถยกเลิกเงื่อนไขแลมบ์ดาได้

โดยการยกเลิกเงื่อนไขแลมบ์ดา เราได้ลดสามสมการ สามระบบที่ไม่รู้จักเป็นสองสมการที่มีสองสิ่งที่ไม่รู้จัก

จำไว้ว่าไม่ใช่ตัวแปรทั้งหมดจะเหมือนกัน ตัวแปรภายนอกที่ไม่รู้จักคือ\(x_1\)และ\(x_2\). ตัวอักษรอื่นๆ เป็นตัวแปรภายนอก

จากสมการแรก เราสามารถแก้หาปริมาณที่เหมาะสมของสินค้า 1 ได้ (ดูภาคผนวกของส่วนก่อนหน้าหากขั้นตอนเหล่านี้สับสน)

สังเกตว่าเราใช้กฎว่า\((x^a)^b = x^{ab}\). เพราะเราต้องการแก้สำหรับ\(x_1\), เรายกทั้งสองด้านเพื่อ\(\frac{1}{c-1}\)พลังเพื่อให้\(ค - 1\)เลขชี้กำลังบน\(x_1\)ครั้ง\(\frac{1}{c-1}\)จะเท่ากับ 1

การปฏิบัติกับ MRS =\(\frac{p_1}{p_2}\)ตรรกะ

นักเศรษฐศาสตร์เน้นการคิดเพียงเล็กน้อย แนวคิดคือคุณสามารถเคลื่อนไหวและดูว่าสิ่งต่าง ๆ เปลี่ยนไปอย่างไรจากตำแหน่งใดก็ได้ หากมีการปรับปรุงให้ดำเนินการต่อไป ทางออกที่ดีที่สุดคือจุดที่ราบเรียบ ซึ่งไม่สามารถปรับปรุงได้

เมื่อเราย้ายเงื่อนไขแลมบ์ดาไปทางด้านขวาและหารสมการแรกด้วยสมการที่สอง เราได้รับข้อความที่สำคัญของความจริงที่ว่าการปรับปรุงเป็นไปไม่ได้และเรากำลังปรับให้เหมาะสม

MRS ที่คุ้นเคยเท่ากับการแสดงออกของอัตราส่วนราคาพร้อมกับเงื่อนไขการสั่งซื้อลำดับที่สามซึ่งกล่าวว่าผู้บริโภคต้องอยู่ในงบประมาณ (ใช้รายได้จนหมด) เป็นวิธีทางคณิตศาสตร์ในการอธิบายความคิดส่วนเพิ่ม

เงื่อนไข MRS บอกเราว่าถ้า MRS ไม่เท่ากับอัตราส่วนราคา มีความเป็นไปได้สองประการ ดังแสดงในรูปที่ 3.7

ในแผง A ความชันของเส้นโค้งไม่แยแสที่จุด A จะมากกว่าความชันของเส้นงบประมาณ (ในค่าสัมบูรณ์) ผู้บริโภครายนี้ควรคลานไปตามเส้นงบประมาณ ไปถึงเส้นโค้งที่ไม่แยแสที่สูงขึ้น จนกว่า MRS จะเท่ากับอัตราส่วนราคา ณ จุดนี้ ความชันของเส้นโค้งความไม่แยแสจะเท่ากับความชันของเส้นงบประมาณพอดี และเส้นโค้งความเฉยเมยของผู้บริโภคจะแตะเส้นงบประมาณ ผู้บริโภคไม่สามารถเข้าสู่เส้นโค้งที่ไม่แยแสที่สูงขึ้นและอยู่ในข้อจำกัดด้านงบประมาณได้ นี่เป็นทางออกที่ดีที่สุด

ในแผง B เรื่องราวเหมือนกันแต่กลับกัน ความชันของเส้นโค้งไม่แยแสที่จุด B น้อยกว่าความชันของเส้นงบประมาณ ผู้บริโภครายนี้ควรรวบรวมข้อมูลตามเส้นงบประมาณ ไปถึงเส้นโค้งที่ไม่แยแสที่สูงขึ้น จนกว่า MRS จะเท่ากับอัตราส่วนราคา ณ จุดนี้ ความชันของเส้นโค้งความไม่แยแสจะเท่ากับความชันของเส้นงบประมาณพอดี และเส้นโค้งความเฉยเมยของผู้บริโภคจะแตะเส้นงบประมาณ

แนวทางเชิงตัวเลขสำหรับปัญหาการปฏิบัติแบบควอซิลิเนียร์

ขั้นตอนเปิดสมุดงาน ExcelOptimalChoicePractice.xls, อ่านบทนำแผ่น จากนั้นไปที่ควอซิลิเนียร์ช้อยส์แผ่นเพื่อดูว่าวิธีการเชิงตัวเลขสามารถใช้แก้ปัญหานี้ได้อย่างไร

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าผู้บริโภคไม่สามารถซื้อชุด 5,20 ได้เนื่องจากราคาและรายได้บนแผ่นงาน ถ้าเธอซื้อห้าหน่วยของ\(x_1\)สูงสุดคือเท่าใด\(x_2\)เธอสามารถซื้อ?

ขั้นตอนป้อนจำนวนนี้ในเซลล์ B12 แผนภูมิและเซลล์ B21 ยืนยันว่าคุณเข้าใจถูกต้องหรือไม่

หากคุณป้อน 13 ใน B12 แผนภูมิจะอัปเดตและแสดงว่าผู้บริโภคอยู่ในเส้นงบประมาณแล้ว นอกจากนี้ เซลล์ข้อจำกัด B21 ยังเป็นศูนย์

โดยไม่ต้องเรียกใช้ Solver หรือทำการคำนวณใดๆ เลย เธอกำลังขยายสูงสุดที่ 5,13 หรือไม่

คำตอบคือเธอไม่ใช่ เป็นการยากที่จะดูบนกราฟว่าเส้นโค้งที่ไม่แยแสกำลังตัดเส้นงบประมาณหรือไม่ แต่ข้อมูลด้านล่างแผนภูมิแสดงให้เห็นว่า MRS ไม่เท่ากับอัตราส่วนราคา นั่นบอกคุณว่าเส้นความเฉยเมยนั้นแท้จริงแล้วไม่ได้สัมผัสกับเส้นงบประมาณ ดังนั้นผู้บริโภคจึงไม่ได้เพิ่มประสิทธิภาพ เนื่องจาก MRS มีค่ามากกว่าอัตราส่วนราคา (ในมูลค่าสัมบูรณ์) เราจึงรู้ว่าผู้บริโภคควรซื้อมากขึ้น\(x_1\)และน้อยกว่า\(x_2\)เลื่อนลงมาตามเส้นงบประมาณจนกว่าจะพอใจเงื่อนไขส่วนเพิ่ม มาหาทางออกที่ดีที่สุดกันเถอะ

ขั้นตอนเรียกใช้โปรแกรมแก้ปัญหา เลือกรายงานความไวที่จะได้รับ\(\แลมบ์ดา\mbox{*}\).

คำตอบของ Excel เปรียบเทียบกับคำตอบการวิเคราะห์ของเราอย่างไร จำได้ว่าเราพบ:

ขั้นตอนสร้างสูตรใน Excel เพื่อคำนวณโซลูชันทั้งสองนี้ (การใช้เซลล์ C11 และ C12 จะสมเหตุสมผล) สิ่งนี้ต้องการการดูแลด้วยวงเล็บ นี่คือสูตรสำหรับค่า 1: =(p1_/(c_*p2_))(̂1/(c_-1)).

คุณควรพบว่าโปรแกรมแก้ปัญหาของ Excel นั้นค่อนข้างใกล้เคียงกับโซลูชันที่ถูกต้องทุกประการ นั่นคือ 6.25, 12.75 เราสรุปได้ว่าทั้งสองวิธีคือเชิงวิเคราะห์และเชิงตัวเลข เห็นด้วยอย่างมาก

อย่างไรก็ตาม เป็นเรื่องจริงที่ Solver แตกต่างจากผลการวิเคราะห์ที่คำนวณไว้เล็กน้อย โดยทั่วไป มีเหตุผลสองประการที่ทำให้เกิดความไม่ลงรอยกันเล็กๆ น้อยๆ ระหว่างสองวิธี

1. Excel ไม่สามารถแสดงผลพีชคณิตเป็นจำนวนทศนิยมได้ไม่จำกัด ถ้าวิธีแก้ปัญหาเป็นเลขทศนิยมซ้ำหรือจำนวนอตรรกยะ Excel ก็ไม่สามารถจัดการได้ แม้ว่าตัวเลขจะแสดงเป็นทศนิยมได้ เช่น ครึ่งหนึ่งคือ 0.5 ข้อผิดพลาดความแม่นยำอาจเกิดขึ้นระหว่างการคำนวณคำตอบสุดท้าย นี่ไม่ใช่ที่มาของความแตกต่างในกรณีนี้

2. โปรแกรมแก้ปัญหาของ Excel มักจะพลาดคำตอบที่ถูกต้องโดยปริยาย Solver มีเกณฑ์การบรรจบกัน (ซึ่งคุณสามารถตั้งค่าผ่านปุ่มตัวเลือกในกล่องโต้ตอบพารามิเตอร์ของ Solver) ซึ่งจะกำหนดว่าเมื่อใดที่จะหยุดการค้นหาคำตอบที่ดีกว่า รูปที่ 3.8 นำเสนอการแสดงกราฟิกของอัลกอริทึมของ Solver ในกรณีตัวแปรเดียว

เดอะกราฟเก๋(ซึ่งหมายความว่าเป็นการแสดงความคิดโดยไม่ใช้ข้อมูลจริง) ในรูปที่ 3.8 แสดงให้เห็นว่า Solver ทำงานโดยลองใช้ค่าต่างๆ และดูว่ามีการปรับปรุงเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด เส้นทางของตัวแปรทางเลือก (บนxแกน) ถูกกำหนดโดยอัลกอริธึมการปรับให้เหมาะสมภายในของ Solver ตามค่าเริ่มต้น จะใช้วิธีของนิวตัน (อัลกอริธึมการลงที่ชันที่สุด) แต่คุณสามารถเลือกทางเลือกอื่นได้โดยคลิกปุ่มตัวเลือกในกล่องโต้ตอบโปรแกรมแก้ปัญหา

เมื่อ Solver ใช้ขั้นตอนที่ปรับปรุงค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ทีละน้อย ซึ่งกำหนดโดยเกณฑ์การบรรจบกัน (ปรับได้ผ่านปุ่มตัวเลือก) ก็จะหยุดการค้นหาและประกาศความสำเร็จ ในรูป 3.8 Solver ขาดโซลูชันที่เหมาะสมไปเล็กน้อย เพราะหากเราซูมเข้า ฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะอยู่ด้านบนเกือบแบน โปรแกรมแก้ปัญหาไม่สามารถแยกแยะการปรับปรุงเพิ่มเติมได้

เมื่อเราพูดว่าวิธีการวิเคราะห์เห็นด้วยกับ Solver เราไม่ได้หมายความว่าทั้งสองวิธีเห็นด้วยทุกประการ แต่เพียงว่าสอดคล้องกันในทางปฏิบัติ ถ้า Solver ไม่ใช่คำตอบที่แน่นอนในทศนิยม 15 ตำแหน่ง นั่นคือข้อตกลงสำหรับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติทั้งหมด

นอกจากนี้ยังสรุปได้ง่ายว่า Solver จะต้องให้คำตอบที่ถูกต้องเนื่องจากแสดงทศนิยมจำนวนมาก สิ่งนี้ไม่ถูกต้อง การแสดงผลของ Solver เป็นตัวอย่างของความแม่นยำที่ผิดพลาด. ไม่เป็นความจริงที่ตัวเลขจำนวนมากให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ คำตอบที่ถูกต้องคือ 6.25 และ 12.75 สิ่งที่คุณเห็นคือสัญญาณรบกวนของ Solver คุณต้องเรียนรู้ที่จะตีความผลลัพธ์ของ Solver ว่าไม่ถูกต้องและไม่รายงานตำแหน่งทศนิยมทั้งหมด

มีอีกวิธีหนึ่งที่ Solver ทำให้เราล้มเหลวได้ และมันร้ายแรงกว่าการตีความผลลัพธ์อย่างไม่ถูกต้อง

นักแก้ปัญหาทำตัวไม่ดี

ขั้นตอนเริ่มจาก\(x_1 = 1, x_2 = 20\)เพื่อดูการสาธิตว่า Solver ไม่สมบูรณ์แบบ หลังจากตั้งค่าเซลล์ B11 และ B12 เป็น 1 และ 20 ตามลำดับ ให้เรียกใช้ Solver เกิดอะไรขึ้น?

กผลที่น่าสังเวช(คำศัพท์ทางเทคนิคที่เกิดขึ้นจริงในวรรณกรรมวิธีการเชิงตัวเลข) เกิดขึ้นเมื่ออัลกอริทึมรายงานว่าไม่สามารถหาคำตอบหรือแสดงวิธีแก้ปัญหาที่ผิดพลาดอย่างเห็นได้ชัด รูปที่ 3.9 แสดงตัวอย่างผลลัพธ์ที่น่าสังเวช โซลเวอร์ประกาศชัดว่าหาคำตอบไม่ได้

หากคุณดูที่สเปรดชีตอย่างระมัดระวัง (คลิกยกเลิกหรือตกลงหากจำเป็นเพื่อกลับไปที่แผ่นงาน) คุณจะเห็นว่า Solver หยุดทำงานเมื่อลองใช้ค่าลบสำหรับ\(x_1\). เซลล์ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ B7 แสดงข้อผิดพลาด #NUM! เนื่องจาก Excel ไม่สามารถหารากที่สองของจำนวนลบได้

เพื่อให้ชัดเจน เมื่อเราเริ่มจาก 1,20 Excel จะพยายามเลื่อนไปทางซ้ายและข้ามเครื่องหมายยแกนเป็นลบxอาณาเขต. เนื่องจากฟังก์ชันอรรถประโยชน์คือ\(x_1^{0.5}\)จะพยายามหาค่ารากที่สองของจำนวนลบ ทำให้เกิดข้อผิดพลาด และทำให้อัลกอริทึมขัดข้อง

เมื่อ Solver ล้มเหลว มีสามกลยุทธ์พื้นฐานในการแก้ไขปัญหา:

ลองใช้ค่าเริ่มต้นที่แตกต่างกัน (ในเซลล์ที่เปลี่ยนแปลง) หากคุณทราบคร่าวๆ ว่าโซลูชันอยู่ตรงไหน ให้เริ่มใกล้ๆ กับโซลูชันนั้น หลีกเลี่ยงการเริ่มต้นจากศูนย์หรือเซลล์ว่างเสมอ
เพิ่มโครงสร้างของปัญหาให้มากขึ้น รวมข้อจำกัดที่ไม่เป็นลบในตัวแปรภายนอก หากเหมาะสม ในกรณีของทฤษฎีผู้บริโภค หากคุณรู้ว่าผู้ซื้อไม่สามารถซื้อจำนวนติดลบได้ ให้เพิ่มข้อมูลนี้
จัดระเบียบปัญหาใหม่ทั้งหมด แทนที่จะปรับให้เหมาะสมโดยตรง คุณสามารถให้ Solver ทำงานบนสมการที่ต้องทำให้ได้ ในปัญหานี้ คุณทราบดีว่าMRS\(= \frac{p_1}{p_2}\)ต้องระบุ. คุณสามารถสร้างเซลล์ที่มีความแตกต่างระหว่าง MRS และอัตราส่วนราคา และให้ Solver ค้นหาค่าของตัวแปรตัวเลือกที่บังคับให้เซลล์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์

มาลองกลยุทธ์ที่สองกัน

ขั้นตอนรีเซ็ตค่าเริ่มต้นเป็น 1 และ 20 จากนั้นเปิดใช้ Solver (คลิกแท็บข้อมูลแล้วคลิก Solver) แล้วคลิกปุ่มเพิ่ม (ที่ด้านบนสุดของปุ่มเรียงซ้อนทางด้านขวา)

ตัวแก้ไขตอบสนองโดยเปิดกล่องโต้ตอบเพิ่มข้อจำกัด

ขั้นตอนเลือกตัวแปรภายนอกทั้งสองในฟิลด์การอ้างอิงเซลล์ เลือก\(>=\)และป้อน 0 ในช่อง Constraint เพื่อให้ไดอะล็อกบ็อกซ์มีลักษณะเหมือนรูปที่ 3.10 คลิกตกลง

คุณจะกลับไปที่กล่องโต้ตอบพารามิเตอร์ตัวแก้ไขหลัก แต่คุณได้เพิ่มข้อจำกัดว่าเซลล์ B11 และ B12 จะต้องไม่เป็นค่าลบ

คุณอาจสังเกตเห็นว่าคุณสามารถคลิกทำให้ตัวแปรที่ไม่มีข้อจำกัดไม่เป็นค่าลบตัวเลือก แต่การเพิ่มข้อจำกัดจะแสดงวิธีการทำงานกับข้อจำกัด

ขั้นตอนเมื่อกลับมาที่ไดอะล็อกบ็อกซ์ Solver Parameters หลัก ให้คลิก Solve

ครั้งนี้ โซลเวอร์ทำสำเร็จ การเพิ่มข้อจำกัดที่ไม่ใช่การปฏิเสธทำให้ Solver ไม่สามารถลองปฏิเสธได้\(x_1\)ค่าและสร้างข้อผิดพลาด

ปัญหาการปฏิบัติที่สมบูรณ์แบบเติมเต็ม

จำได้ว่าเส้นโค้งความไม่แยแสรูปตัว L แสดงถึงส่วนเติมเต็มที่สมบูรณ์แบบ ซึ่งสะท้อนผ่านฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้:

\[u(x_1,x_2) = นาที{ax_1,bx_2}\] สมมติว่า\(a = b = 1\)และเส้นงบประมาณคือ\(50 = 2x_1 + 10x_2\).

อันดับแรก เราต้องการแก้ปัญหานี้ในเชิงวิเคราะห์

ไม่สามารถใช้วิธี Lagrangean ได้เนื่องจากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ไม่ได้ที่มุมของ L อย่างไรก็ตาม วิธี Lagrangean ไม่ใช่วิธีวิเคราะห์เดียวที่มีอยู่ รูปที่ 3.11 แสดงว่าเมื่อ a = b = 1 คำตอบที่เหมาะสมจะต้องอยู่บนรังสีจากจุดกำเนิดที่มีความชัน +1

ทางออกที่ดีที่สุดจะต้องอยู่ที่มุมของเส้นโค้งความเฉยเมยรูปตัว L เนื่องจากจุดที่ไม่ใช่มุม (บนส่วนแนวตั้งหรือแนวนอนของเส้นโค้งความเฉยเมย) บ่งบอกว่าผู้บริโภคใช้จ่ายเงินกับสินค้ามากกว่าหนึ่งอย่างโดยไม่ได้รับ ความพึงพอใจเพิ่มเติมใดๆ ดังนั้นเราจึงรู้ว่าทางออกที่ดีที่สุดต้องอยู่บนเส้น\(x_2 = x_1\).

เราสามารถรวมสมการของคำตอบที่ดีที่สุดนี้เข้ากับข้อจำกัดด้านงบประมาณเพื่อหาทางออกที่เหมาะสมที่สุด สมการสองระบบสองระบบที่ไม่รู้จักสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยการแทนที่

แน่นอนเรารู้\(x_2 = x_1\)เหมาะสมที่สุด\(x_2\)ยังเป็น\(4 \frac{1}{6}\). Excel แก้ปัญหานี้ได้ไหมและเราได้คำตอบเดียวกันหรือไม่? ลองหากัน

ขั้นตอนไปต่อที่PerfectComplementsเพื่อดูว่าเราตั้งค่าสเปรดชีตใน Excel อย่างไร คลิกที่เซลล์ B7 เพื่อดูฟังก์ชันยูทิลิตี้

ขั้นตอนเรียกใช้โปรแกรมแก้ปัญหาและรับรายงานความไว สามารถใช้โปรแกรมแก้ปัญหาเพื่อสร้างค่าสำหรับตัวคูณ Lagrangean (ผ่านรายงานความไว) แม้ว่าเราจะไม่สามารถใช้วิธี Lagrangean ในงานวิเคราะห์ของเราได้

เช่นเดียวกับปัญหาก่อนหน้านี้ (ด้วยอรรถประโยชน์กึ่งเชิงเส้น) เราพบว่า Solver และวิธีการวิเคราะห์มีความเห็นตรงกันอย่างมาก คำตอบคือทศนิยมซ้ำ ดังนั้น Excel จึงไม่สามารถหาคำตอบที่แน่นอนได้\(4 \frac{1}{6}\)แต่มันใกล้จริงๆ

ก่อนหน้านี้ เราเห็นว่า Solver อาจผิดพลาดและให้ผลลัพธ์ที่น่าสังเวช ตอนนี้ เรามาเรียนรู้กันว่า Solver สามารถทำงานผิดปกติได้จริงๆ

ขั้นตอนเริ่มจาก\(x_1 = 1, x_2 = 1\)เรียกใช้โปรแกรมแก้ปัญหา เกิดอะไรขึ้น?

คุณกำลังดูตัวอย่างของผลร้ายซึ่งเกิดขึ้นเมื่ออัลกอริทึมรายงานว่าพบคำตอบแล้ว แต่ผิด ไม่มีข้อผิดพลาดที่ชัดเจนและผู้ใช้อาจยอมรับคำตอบว่าเป็นความจริง

Solver รายงานผลลัพธ์ที่สำเร็จ แต่คำตอบที่ให้คือ 1,1 และเรารู้ว่าคำตอบที่ถูกต้องคือ\(4 \frac{1}{6}\)สำหรับสินค้าทั้งสอง.

ผลลัพธ์ที่เลวร้ายรวมถึงองค์ประกอบของการตีความ ในกรณีนี้ เราอาจสังเกตเห็นว่า 1,1 อยู่ในข้อจำกัดด้านงบประมาณ ดังนั้น อัลกอริทึมจึงล้มเหลว ผลลัพธ์ที่เลวร้ายอย่างแท้จริงเกิดขึ้นเมื่อไม่มีวิธีใดที่จะทดสอบหรือยืนยันคำตอบที่ผิดของอัลกอริทึมได้อย่างอิสระ

ผลลัพธ์ที่น่าสังเวชและน่าสลดใจได้รับการนิยามไว้อย่างดี คำศัพท์ทางเทคนิคในวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับวิธีการเชิงตัวเลข ผลลัพธ์ที่เลวร้ายนั้นอันตรายกว่าผลลัพธ์ที่น่าสังเวชมาก อย่างหลังน่าผิดหวังเพราะคอมพิวเตอร์ไม่สามารถให้คำตอบได้ แต่ผลลัพธ์ที่เลวร้ายทำให้ผู้ใช้เชื่อว่าคำตอบนั้นผิดจริง ๆ ในโลกของการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงตัวเลข สิ่งเหล่านี้คือข้อเท็จจริงของชีวิต วิธีการเชิงตัวเลขไม่สมบูรณ์แบบ คุณไม่ควรเชื่อถืออัลกอริธึมการปรับให้เหมาะสมใดๆ โดยสิ้นเชิง

ทำความเข้าใจกับ Solver ไม่เชื่อ

บทนี้เปิดใช้แนวทางปฏิบัติในการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่มีข้อจำกัดของผู้บริโภคด้วยฟังก์ชันยูทิลิตี้ที่แตกต่างกันสองฟังก์ชัน ฟังก์ชันควอซิลิเนียร์และส่วนเสริมที่สมบูรณ์แบบ ในทั้งสองกรณี เราพบว่าโปรแกรมแก้ปัญหาของ Excel เห็นด้วยกับวิธีการวิเคราะห์ในทางปฏิบัติ

ความสามารถในการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมด้วยวิธีการสองวิธีที่แยกจากกัน หมายความว่าเราแน่ใจได้จริงๆ ว่าเราได้พบวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดเมื่อพวกเขาให้คำตอบเดียวกัน

นอกจากนี้ เรายังสำรวจว่า Solver ทำงานอย่างไร โดยจะประเมินฟังก์ชันวัตถุประสงค์สำหรับค่าต่างๆ ของตัวแปรตัวเลือก มันยังคงค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ดีกว่าจนกว่าจะไม่สามารถปรับปรุงได้มากนัก (จำนวนที่กำหนดโดยเกณฑ์การบรรจบกัน)

โซลเวอร์อาจล้มเหลวโดยรายงานว่าไม่พบวิธีแก้ไข (เรียกว่าผลลัพธ์ที่น่าสังเวช) หรือแย่กว่านั้นคือการรายงานคำตอบที่ไม่ถูกต้องโดยไม่มีข้อผิดพลาดที่ชัดเจน (ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่เลวร้าย)

เป็นเรื่องง่ายที่จะเชื่อได้ว่าผลลัพธ์ที่แสดงโดยคอมพิวเตอร์นั้นรับประกันได้ว่าถูกต้อง อย่าประมาทและวางใจว่าวิธีการเชิงตัวเลขสามารถและล้มเหลวได้ในบางครั้ง

จุดนี้สมควรได้รับการทำซ้ำอย่างรอบคอบ คุณเรียกใช้ Solver และยินดีที่จะประกาศว่าพบโซลูชันแล้วและเสนอตัวเลข 15 หรือ 16 หลักสำหรับการตรวจสอบของคุณ แต่ปัญหาคือวิธีแก้ไขคือทางออก. ไม่อยู่ในทศนิยมหลักที่ล้านหรือแม้แต่ตำแหน่งที่สิบ แต่ผิดโดยสิ้นเชิง สิ่งนี้อาจเกิดขึ้นได้อย่างไร ซึ่งนำเราไปไกลเกินไปในดินแดนแห่งการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงตัวเลข แต่พอเพียงที่จะกล่าวว่าคุณควรถามตัวเองเสมอว่าคำตอบนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่

Solver เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ แต่ก็ไม่สมบูรณ์แบบ คุณต้องจำสิ่งนี้ไว้เสมอ หลังจากรันโปรแกรม Solver ให้จัดรูปแบบผลลัพธ์โดยคำนึงถึงความเข้าใจง่ายและคิดถึงผลลัพธ์ด้วยตัวมันเอง อย่ายอมรับผลลัพธ์ของ Solver อย่างไร้เหตุผล ตื่นตัวอยู่เสมอแม้ว่า Solver จะอ้างว่าได้รับผลตอบแทนที่เลวร้ายก็ตาม!

คำอธิบายเพิ่มเติมของ Solver มีอยู่ในคำสั่ง Solver.docไฟล์ในตัวช่วยสร้าง SolverCompStaticsโฟลเดอร์

การออกกำลังกาย

ในตัวอย่างควอซิลิเนียร์ในบทนี้ ใช้สมการแรกในเงื่อนไขลำดับที่หนึ่งเพื่อค้นหา\(\แลมบ์ดา\mbox{*}\). แสดงผลงานของคุณ
ใช้วิธีการวิเคราะห์เพื่อหาทางออกที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาการเติมเต็มที่สมบูรณ์แบบเช่นเดียวกับที่นำเสนอในบทนี้ ยกเว้นเรื่องนั้น\(ก = 4\)และ\(b = 1\). แสดงผลงานของคุณ
วาดกราฟ (โดยใช้เครื่องมือวาดภาพของ Word) ของคำตอบที่ดีที่สุดสำหรับคำถามก่อนหน้า
ใช้โปรแกรมแก้ปัญหาของ Excel เพื่อยืนยันว่าคุณมีคำตอบที่ถูกต้อง ถ่ายภาพเซลล์ที่มีเป้าหมาย ตัวแปรภายนอก และตัวแปรภายนอก

อ้างอิง

เมื่อเศรษฐศาสตร์กลายเป็นวิชาคณิตศาสตร์มากขึ้น หลักสูตรใหม่ก็ถือกำเนิดขึ้น นั่นคือ Math Econ หลักสูตรนี้ต้องการหนังสือและ R.G.D. Allen’sการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเศรษฐศาสตร์(ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี พ.ศ. 2481) กลายเป็นตำราคลาสสิก ดังที่ E. Schneider นักวิจารณ์กล่าวว่า “หนังสือเล่มนี้เติมเต็มความต้องการที่รู้สึกมานาน ในที่สุดเราก็มีหนังสือที่นำเสนอเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นต่อการศึกษาเศรษฐศาสตร์อย่างจริงจังในรูปแบบที่เหมาะสมกับความต้องการของนักเศรษฐศาสตร์” ดูวารสารเศรษฐกิจฉบับ 48 ฉบับที่ 191 (กันยายน 2481) น. 515. คำบรรยายมาจากหน้า 2 ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเศรษฐศาสตร์ขณะที่ Allen อภิปรายว่าคณิตศาสตร์สามารถนำมาใช้กับการศึกษาเศรษฐศาสตร์ได้อย่างไรและทำไม